计算机的数据表示
复习
- 计算机的历史：计算机从算盘、机械计算机发展到电子计算机，核心动力是让繁琐计算自动化
- 计算机的构成：计算机需要输入、输出、存储和处理功能；CPU 内的 ALU、控制器和寄存器共同处理指令和数据
TL;DR
- 计算机使用二进制（0 和 1）表示所有数据，每一位 0 或 1 叫作一个二进制位（bit）
- 二进制、八进制、十六进制本质相同，只是把若干个二进制位揉成一个新符号，更简洁，便于书写和阅读
- 1 位八进制 = 3 个二进制位，1 位十六进制 = 4 个二进制位
正文
在了解了计算机的组成之后，我们需要思考一个关键问题：计算机如何表示和处理各种数据？
为什么是二进制
回想一下，我们目前打算设计的计算机使用电能。而电子元件最容易实现两种状态：通电（1）和断电（0）。
这天然就是 2 种状态。
我们目前使用十进制，因为我们的手指和脚趾刚好各有 10 个，有 10 个状态，逢 10 进 1。玛雅人采用 20 进制；有些单位（一打）使用 12 进制。
那么可不可以设计出一种二进制，只有 2 个状态：0 和 1，逢 2 进 1？
- 十进制：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
- 二进制：0、1
二进制与十进制
十进制的计算方式能不能套用到二进制身上呢？
- 十进制的 13：13₁₀ = 1×10¹ + 3×10⁰（右下角的 10 表示采用十进制）
- 二进制的 13：1101₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰（右下角的 2 表示采用二进制）
似乎可以，我们可以试试把二进制和十进制的 0-9 一一对应起来：
| 二进制 | 十进制 | 二进制 | 十进制 |
|---|---|---|---|
| 0000 | 0 | 0101 | 5 |
| 0001 | 1 | 0110 | 6 |
| 0010 | 2 | 0111 | 7 |
| 0011 | 3 | 1000 | 8 |
| 0100 | 4 | 1001 | 9 |
要表示更大的数字时，像十进制一样往上叠位数就好了。只是因为二进制只有 2 个数字，而十进制有 10 个数字，所以二进制表示相同的值时，位数要更多一些。
反过来，把十进制转成二进制，也有简单的办法：不断除以 2，记录余数，直到商为 0，再把余数从下往上读。
- 以 13 为例
- 13 ÷ 2 = 6 余 1；
- 6 ÷ 2 = 3 余 0；
- 3 ÷ 2 = 1 余 1；
- 1 ÷ 2 = 0 余 1。
- 把余数从下往上读，得到 1101，正是 13 的二进制表示
为什么要把余数从下往上读？感兴趣的读者可以自行搜索。因为并非主线内容，这里只是简单做一个提示：在 N = bₙ·2ⁿ + … + b₂·2² + b₁·2¹ + b₀·2⁰ 中，只有 b₀·2⁰ 不能被 2 整除（如果 b₀ = 1），其他位因为都含有 2 的幂，所以都能被整除。
八进制与十六进制
二进制太长，不方便阅读，人们又将 3 个或 4 个 bit 揉在一起，分别形成八进制和十六进制。
十六进制（Hexadecimal，简称 Hex）：
- 采用符号（16 个）：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f
- 表示方法：前缀（0x / 0X）+ 值，或者 值 + 后缀（h / H）
- 如
0x0，0X0，0h，0H
八进制（Octal，简称 Oct）：
- 采用符号（8 个）：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
- 表示方法：前缀（0o / 0O）+ 值，或者 值 + 后缀（o / O）
- 如
0o0，0O0，0o，0O
二进制（Binary，简称 Bin）其实也有相应的表示方法，同上：
- 采用符号（2 个）：0, 1
- 表示方法：前缀（0b / 0B）+ 值，或者 值 + 后缀（b / B）
- 如
0b0，0B0，0b，0B
十进制（Decimal，简称 Dec）不加任何前后缀。
下面是对照表（需要表示的值以十进制表示）：
| 十进制值 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0b0000 或 0000b | 0o00 或 00o | 0x0 或 0h |
| 1 | 0b0001 或 0001b | 0o01 或 01o | 0x1 或 1h |
| 2 | 0b0010 或 0010b | 0o02 或 02o | 0x2 或 2h |
| 3 | 0b0011 或 0011b | 0o03 或 03o | 0x3 或 3h |
| 4 | 0b0100 或 0100b | 0o04 或 04o | 0x4 或 4h |
| 5 | 0b0101 或 0101b | 0o05 或 05o | 0x5 或 5h |
| 6 | 0b0110 或 0110b | 0o06 或 06o | 0x6 或 6h |
| 7 | 0b0111 或 0111b | 0o07 或 07o | 0x7 或 7h |
| 8 | 0b1000 或 1000b | 0o10 或 10o | 0x8 或 8h |
| 9 | 0b1001 或 1001b | 0o11 或 11o | 0x9 或 9h |
| 10 | 0b1010 或 1010b | 0o12 或 12o | 0xA 或 Ah |
| 11 | 0b1011 或 1011b | 0o13 或 13o | 0xB 或 Bh |
| 12 | 0b1100 或 1100b | 0o14 或 14o | 0xC 或 Ch |
| 13 | 0b1101 或 1101b | 0o15 或 15o | 0xD 或 Dh |
| 14 | 0b1110 或 1110b | 0o16 或 16o | 0xE 或 Eh |
| 15 | 0b1111 或 1111b | 0o17 或 17o | 0xF 或 Fh |
特别注意
说了这么多进制可能有点晕。其实主要只有十进制与二进制。
八进制和十六进制其底层还是二进制，因为目前只有通电或断电两种状态。 使用是否通电理解二进制并不严谨，但于初学者而言容易理解且偏差不大（苏联曾经诞生过三进制计算机，但由于各种原因，并没有取代二进制成为现代计算机的基础）。
- 1 个八进制可以拆成 3 个二进制位，因为 8 = 2³
- 1 个十六进制可以拆成 4 个二进制位，因为 16 = 2⁴
只是因为 1101₂ 看起来不如 15₈ 和 D₁₆ 简洁（右下角表示进制），其中十六进制最简洁，只用 D 表示就可以了。
注意：上面的符号 A-F 只是人们的约定俗成，其实完全可以用其他符号表示（比如小猫小狗的 emoji 符号）。而至于怎样真正表示 字母形式的 A-F ，以后再说。
二进制的重要性
计算机采用二进制（0 和 1）表示数据有几个重要原因：
- 硬件实现简单：电路的开和关、高电平和低电平可以直接对应 1 和 0
- 运算规则简单：二进制的运算规则比十进制简单得多
- 可靠性高：区分两种状态比区分多种状态更稳定可靠
思考题
如果未来发生了一场能源革命，发现一种新能源：另能。另能激活时，有 A、B、C 三种不同的形态，均可导通另路（类似电路）。
那么计算机是否会发生革命？如果你是另能计算机设计者，会采用几进制？
最后，冯·诺伊曼体系结构是否会随着技术发展而打破？
小结
知识点
- 二进制
- 八进制
- 十六进制
- 进制之间的转换
参考资料
- Wikipedia(zh)：二进制：计算机中的数据表示基础
- 进制转换计算器
- 《编码：隐匿在计算机软硬件背后的语言》
- 《深入理解计算机系统》第 2 章：信息的表示和处理
- Wikipedia(zh)：Сетунь：苏联诞生的三进制计算机。
思考题答案（仅供参考）
- 会。因为元符号数量从 2 个增长为 4 个。
- 4 进制。未导通态 1 个加上导通态 3 个，共 4 个。可以表示为 0-3，此时每 1 位（四进制）可以表示 2 个比特位（二进制）。
- 科学和技术一直在进步。假设，某一天技术强大到所有输入和输出均可一个设备完成，则该体系也会随之淘汰。
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封面图
设计师 | 南国微雪