复杂逻辑门基础

复习

1. 第一章：需要一台计算机，在研究其组成的方向上进行努力
2. 第二章：知道了计算机由输入设备、存储器、运算器和输出设备组成，这个体系目前还在沿用
3. 第三章：了解了计算机使用二进制（0 和 1）表示所有数据
4. 第四章：基本逻辑门（与或非三门）是计算机处理二进制信号的基本单元

TL;DR

• 复杂逻辑门是由基本逻辑门组合而成
• 常见的复杂逻辑门包括：异或门、多路选择器、编码器等
• 复杂逻辑门是构建计算机运算部件的基础

正文

引言

　　如果只用基本逻辑门来构建电路，就像只用最基本的积木搭建房子一样，繁琐。使用一些预制的复杂部件会让搭建更加方便。设计中为了方便，可以一层一层地抽象和展开（ 在计算机科学里，没有什么问题是加一层解决不了的 ）。实际流片和生产电子设备的时候，因为全部都用晶体管，所以所有抽象势必都必须要具象到晶体管上。

常见的复杂逻辑门

　　为了简单起见，此处只给出异或门、同或门、多路选择器这三个最常见的复杂逻辑门。其他复杂逻辑门都可以同理用与或非三门搭建，如：移位器、3-8 译码器、零值判断器、奇偶校验器等。

　　最后将简单给出根据真值表写表达式的方法，用于搭建其他复杂逻辑门。这部分的高级知识（德摩根定律、卡诺图、表达式化简等）属于数字电路和离散数学，不过多深入。

异或门（XOR）和同或门（XNOR）

　　异或门的特点：当两个输入不同时输出 1，相同时输出 0。可以理解为“不同则真”。

• 电灯的双控开关（异或门）：两个开关的状态不同时灯亮，相同时灯灭
• 过马路的红绿灯（异或门）：行人和车辆不能同时通行，必须一方通行时另一方等待
• 检查数据（同或门）：检查两个密码或数据是否相同

　　真值表：

多路选择器（MUX）

　　多路选择器就像是一个数字版的“多选一”开关。它有多个数据输入端，一个选择输入端，和一个输出端。选择输入决定将哪个数据输入传送到输出端。

• 在多个数据中选择一个输出
• 在数据总线和地址总线等总线上选择输入端的数据

　　二选一多路选择器的真值表：

• S：Select 首字母

根据真值表写表达式

前提

• 真值表达式大体和初高中学的多项式相同，如：x² + 3x + 2，但符号体系采用离散数学和布尔逻辑的符号体系

• 如果有 Y = AB + CD 的表达式（Y 是输出，A、B、C、D 是输入），则说明：

  • Y = 1 时，可以是 AB 为 1，也可以是 CD 为 1
    • AB 和 CD 关系为“或”，加号必须写
  • 但只有 A = 1 且 B = 1 时 AB 整体才能为 1
    • A 和 B 关系为“与”，乘号可以不写

• 如果有 Y = AB + CD 的表达式（Y 是输出，A、B、C、D 是输入），则说明：

  • Y = 1 时，可以是 AB 为 1，也可以是 CD 为 1
  • 但只有 A = 1 且 B = 0 时 AB 整体才能为 1
    • B 意为 B 取反，读作“B 反”
    • 当 B = 0 时，B = 1
    • 也可以写作 ~B，意义等同
  • 同时只有 C = 0 且 D = 1 时 CD 整体才能为 1

方法

1. 找出所有输出为真（即输出为 1）的输入组合
2. 将这些输入组合用 “或” 连接（也即 + 号），输入组合的数量取决于输出为真的组合数量
3. 针对每一个输入组合，如果有输入项为 0，就将该输入项取反

例子

异或门

1. 找出所有输出为真（即输出为 1）的输入组合

2. 将这些输入组合用 “或” 连接（也即 + 号），输入组合的数量取决于输出为真的组合数量

　　Y = AB + AB

3. 针对每一个输入组合，如果有输入项为 0，就将该输入项取反

　　Y = AB + AB

多路选择器

1. 找出所有输出为真（即输出为 1）的输入组合

2. 将这些输入组合用 “或” 连接（也即 + 号），输入组合的数量取决于输出为真的组合数量

　　Y = SAB + SAB + SAB + SAB

3. 针对每一个输入组合，如果有输入项为 0，就将该输入项取反

　　Y = SAB + SAB + SAB + SAB

根据表达式拼接组合逻辑

方法

1. 如果学习了离散数学，可以先对求出的表达式进行化简
2. 对每个输入组合，选择与门连接每个输入项，如果有输入项为 0，就提前将该输入项取反
3. 对所有 + 号连接的输入组合，选择或门，统一将输入组合的 与门输出 连接到 或门的输入

例子

异或门

1. 如果学习了离散数学，可以先对求出的表达式进行化简

　　因知识所限，暂时无法化简，采用原表达式 Y = AB + AB（其实已经是最简形式了）。

2. 对每个输入组合，选择与门连接每个输入项，如果有输入项为 0，就提前将该输入项取反

3. 对所有 + 号连接的输入组合，选择或门，统一将输入组合的 与门输出 连接到 或门的输入

多路选择器

1. 如果学习了离散数学，可以先对求出的表达式进行化简

　　使用离散数学化简到最简形式为 Y = SA + SB。

　　化简过程如下（如果不希望了解，跳过即可，不影响）：

　　1). 分组化简：将 SAB 和 SAB 合并为 SA，将 SAB + SAB 合并为 SB。

　　（相当于提取公因式：SAB + SAB = SA(B + B)，而 B + B 相当于一个信号和它的相反值相或，其结果恒为 1，所以消去即可。后者同理。）

　　2). 观察，已经无法再化简，最简表达式 Y = SA + SB。

2. 对每个输入组合，选择与门连接每个输入项，如果有输入项为 0，就提前将该输入项取反

3. 对所有 + 号连接的输入组合，选择或门，统一将输入组合的 与门输出 连接到 或门的输入

复杂逻辑门的应用

　　复杂逻辑门是由基本逻辑门组合而成的更高级的电路单元，可以大大简化电路设计，提高设计效率，同时可以完成更复杂的功能。我们下一章将设计半加器，到时候我们将会看到：半加器是一个复杂逻辑门的组合。

复杂逻辑门的意义

1. 简化设计 ：用一个复杂逻辑门替代多个基本逻辑门的组合
2. 提高可靠性 ：减少了电路中的元件数量，降低了故障的可能
3. 标准化 ：提供了标准的功能模块，方便电路设计

补充

　　其实异或门有很多种设计方案，既可以使用基础三门，也可以使用 nand 或 nor 等。

　　总体来讲，用的逻辑门越少，开销越少，效率越高。如果看过《第四章：简单逻辑门》的晶体管补充部分，就可以很明显的看出，下面两种设计方案中，第一种方案在晶体管层面要好很多。（如果遗忘了，稍做提醒： and 在晶体管层面其实由 nand + not 搭建而来。）

小结

知识点

• 复杂逻辑门的概念和用途
• 异或门
• 同或门
• 多路选择器

参考资料

1. Wikipedia(zh)：异或门：异或门的详细介绍
2. Wikipedia(zh)：多路复用器：多路选择器的工作原理

协议

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设计师 | 南国微雪